Question

我们用部分自然数构造如下的数表：用a_ij（i≥j）表示第i行第j个数（i、j为正整数），使a_i1=a_ii=i；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和（第一、二行除外，如图），设第n（n为正整数）行中各数之和为b_n．
（Ⅰ）试写出b₂-2b₁，b₃-2b₂，b₄-2b₃，b₅-2b₄，并推测b_n+1和b_n的关系（无需证明）；
（Ⅱ）证明数列{b_n+2}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）数列{b_n}中是否存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r为正整数）恰好成等差数列？若存在，求出p、q、r的关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）b₁=1；b₂=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46；可见：b₂-2b₁=2；b₃-2b₂=2；b₄-2b₃=2；b₅-2b₄=2，由此能够猜测：b_n+1-2b_n=2．
（Ⅱ）由

bn+1+2

bn+2

=2，知b_n=3×2^n-1-2．
（Ⅲ）若数列{b_n}中存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差数列，设p＞q＞r，b_n是递增数列，则2b_q=b_p+b_r，于是2×2^q-r=2^p-r+1，由p、q、r∈N^*且p＞q＞r知，q-r≥1，p-r≥2，由此知数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差数列．

解答：解：（Ⅰ）b₁=1；b₂，=4；b₃=10；b₄=22；b₅=46；
可见：b₂-2b₁=2；b₃-2b₂=2；b₄-2b₃=2；b₅-2b₄=2，（2分）
猜测：b_n+1-2b_n=2（或b_n+1=2b_n+2或b_n+1-b_n=3×2^n-1）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）

bn+1+2

bn+2

=2，（7分）
所以b_n+2是以b₁+2=3为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n+2=3×2^n-1，即b_n=3×2^n-1-2（注：若考虑

bn+2

bn-1+2

，且不讨论n=1，扣1分）（10分）
（Ⅲ）若数列{b_n}中存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差数列，
不妨设p＞q＞r，显然，b_n是递增数列，则2b_q=b_p+b_r（11分）
即2×（3×2^q-1-2）=（3×2^p-1-2）+（3×2^r-1-2），于是2×2^q-r=2^p-r+1（14分）
由p、q、r∈N^*且p＞q＞r知，q-r≥1，p-r≥2，
∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，
故数列{b_n}中不存在不同的三项b_p，b_q，b_r（p、q、r∈N^*）恰好成等差数列．（16分）

点评：本题考查数列的性质和综合应用及等比关系的确定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．