Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx的极大值点为x=-1．
（Ⅰ）用实数a来表示实数b，并求a的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为-

2

3

，求a的值；
（Ⅲ）设A（-1，f（-1）），B（2，f（2）），A，B两点的连线斜率为k．求证：必存在x₀∈（-1，2），使f^′（x₀）=k．

Answer 1

分析：（I）求出导函数，令导函数在极值点x=-1出的值为0，得到a，b的关系；利用导函数的韦达定理求出另一个极值点，据x=-1是极大值得到两个极值点的大小关系，列出不等式求出a的范围．
（II）据（I）得到函数的单调性，通过极值点1-2a与区间端点位置关系的讨论，求出函数的最小值，列出方程求出a的值．
（III）利用两点连线的斜率公式求出k，令f^′（x₀）=k有解，通过二次方程的实根分布，得到证明．

解答：解：（Ⅰ）f^′（x₀）=x²+2ax+b，由题设知f^′（-1）=0
∴b=2a-1
韦达定理得另一极值点x=-b=1-2a，因为x=-1为极大值点
故1-2a＞-1，
∴a＜1
（Ⅱ）f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，1-2a）递减，在（1-2a，+∞）上递增，
故当x∈[-1，2]时，分情况如下：
①1-2a≥2，即a≤-

1

2

时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减
∴f(x)min=f(2)=8a+

2

3

=-

2

3

，
解得a=-

1

6

，不合条件，舍去
②1-2a＜2，即-

1

2

＜a＜1时，
∴f(x)min=f(1-2a)=

1

3

(1-2a)3+a(1-2a)2-(1-2a)2=

1

3

(1-2a)2(a-2)
∴

1

3

(1-2a)2(a-2)=-

2

3

，化简得a（2a-3）²=0，a=0或a=

3

2

，取a=0
综上，故所求的a=0
（Ⅲ）k=

f(2)-f(-1)

2-(-1)

=3a，即证x₀²+2ax₀+b=3a
即证方程x²+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解
记g（x）=x²+2ax-a-1=0（a＜1），
g（-1）=-3a，g（2）=3a+3
①当g（-1）•g（2）=-3a（a+1）＜0，即a＜-1或0＜a＜1时，由零点存在定理知此时方程有解
②a＜0时，此时△=4（a²+a+1）＞0，g（2）＞0，g（-1）＞0，且二次函数g（x）的
对称轴x=-a∈（0，1）⊆（-1，2），由此可知此时方程在（-1，2）内有两个解
③a=-1时方程有一根为x=0，当a=0时方程有一根为x=1
综上可知，方程x²+2ax-a-1=0（a＜1）在x∈（-1，2）上有实数解．
即必存在x₀∈（-1，2），使f'（x₀）=k．

点评：导函数在极值点处的值为0；解决二次方程实根分布问题常从判别式、对称轴与区间端点值的符号、区间端点值的符号几方面考虑．