Question

19．已知曲线C：y²=-4x（x＞-3），直线l过点M（1，0）交曲线C于A，B两点，点P是AB的中点，EP是AB的中垂线，E点的坐标为（x₀，0），试求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可直线l的斜率k存在且不为0，故可设方程为y=k（x-1），与曲线方程联立，根据x的范围，建立不等式，从而可得直线l的斜率的取值范围．再由P为线段AB的中点，利用EP⊥AB，求出x₀的表达式，即可求x₀的取值范围．

解答 解：由题意可直线l的斜率k存在且不为0，故可设方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$得，k²x²+（4-2k²）x+k²=0，x∈（-3，0]，
由△＞0，得k²＜1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-4}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=$-\frac{4}{k}$．
由x∈（-3，0]，令f（x）=k²x²+（4-2k²）x+k²，
得$\left\{\begin{array}{l}{f（-3）=9{k}^{2}-3（4-2{k}^{2}）+{k}^{2}＞0}\\{f（0）={k}^{2}≥0}\\{-3＜\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}}≤0}\end{array}\right.$，即${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，
故$\frac{3}{4}＜{k}^{2}＜1$，
由P是AB的中点，得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）=（$\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}}，-\frac{2}{k}$）．
由EP⊥AB，得$\frac{\frac{2}{k}}{{x}_{0}-\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}}}•k=-1$，整理得，${x}_{0}=-\frac{2}{{k}^{2}}-1$．
∵$\frac{3}{4}＜{k}^{2}＜1$，
∴x₀的取值范围是（-$\frac{11}{3}$，-3）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查两直线垂直与斜率的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．