Question

如图，直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱AA′=4，底面三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等腰三角形可知CD⊥AB，而三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，则平面ABC⊥平面ABB′A′，根据面面垂直的性质定理可知CD⊥平面ABB′A′，而AB′?平面ABB′A′，最后根据线面垂直的性质可得CD⊥AB′．
（Ⅱ）CD⊥平面ABB′A′，过D作DE⊥AB′，垂足为E，连接CE，由三垂线定理可知CE⊥AB′，根据二面角平面角的定义可知∠CED是二面角B-AB'-C的平面角，在三角形CEO中求出此角即可，而二面角A′-AB′-C与二面角B-AB′-C的大小互补，即可求出所求．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为AC=BC，D是AB的中点，所以CD⊥AB．
由已知，三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ABB′A′．
所以CD⊥平面ABB′A′．
又因为AB′?平面ABB′A′，
所以CD⊥AB′．（6分）
（Ⅱ）解：由（1）知CD⊥平面ABB′A′．
过D作DE⊥AB′，垂足为E，连接CE．
由三垂线定理可知CE⊥AB′，
所以∠CED是二面角B-AB'-C的平面角．
由已知可求得CD=

2

，DE=

2

3

，
所以tan∠CED=

CD

DE

=

6

2

．
所以二面角B-AB′-C的大小为arctan

6

2

．
由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB′-C的大小互补，
所以二面角A′-AB′-C的大小为π-arctan

6

2

．（13分）

点评：本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的性质，以及二面角的度量，同时考查了计算与推理的能力，属于中档题．