Question

【题目】已知函数f（x）＝2lnx﹣x．

（I）写出函数f（x）的定义域，并求其单调区间；

（II）已知曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线为l，且l在y轴上的截距是﹣2，求x0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）定义域为（0，+∞）, 单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）；（Ⅱ）1.

【解析】

（Ⅰ）由对数真数大于零求得函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间.（Ⅱ）利用切点的横坐标求得斜率，由点斜式写出切线方程，令纵截距为列方程，解方程求得的值.

解：（Ⅰ）函数y＝f（x）的定义域为：（0，+∞）．

∵f（x）＝2lnx﹣x，∴．

令f'（x）＝0，则x＝2．

当x在（0，+∞）上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表

∴函数y＝f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．

（Ⅱ）由题意可知：f（x0）＝2lnx0﹣x0，

曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为．

∴切线方程为：．

∴．

∴．

∵切线方程为y＝kx﹣2，

∴2lnx0﹣2＝﹣2．

∴x0＝1．