Question

设函数f（x）=x³+4x+5的图象在x=1处的切线为l，则圆2x²+2y²-8x-8y+15=0上的点到直线l的最短距离为

2

．

Answer 1

分析：利用求导法则得到f（x）的导函数，由函数f（x）=x³+4x+5的图象在x=1处的切线为l，将x=1代入导函数解析式中求出导函数值，即为切线l的斜率，将x=1代入函数解析式中f（1）的值，得到切点坐标，确定出切线l的方程，将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到切线l的距离d，用d-r即可求出圆2x²+2y²-8x-8y+15=0上的点到直线l的最短距离．

解答：解：求导得：f′（x）=3x²+4，
∴切线l的斜率k=f′（1）=3+4=7，且x=1时，f（1）=1+4+5=10，
∴切线l的方程为y-10=7（x-1），即7x-y+3=0，
将圆2x²+2y²-8x-8y+15=0化为标准方程得：（x-2）²+（y-2）²=

1

2

，
∴圆心（2，2）到切线l的距离d=

|14-2+3|

72+1

=

3 2

2

，
则圆2x²+2y²-8x-8y+15=0上的点到直线l的最短距离为d-r=

3 2

2

-

2

2

=

2

．
故答案为：

2

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，曲线上某点切线方程的斜率，圆的标准方程，直线的点斜式方程，以及点到直线的距离公式，其中直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．