Question

已知集合A={(x，y)|x(x-1)+y(y-1)≤r2-

1

2

}，集合B={（x，y）|x²+y²≤r²}．若A∩B是单元素集合，则正实数r=

2

4

．

Answer 1

分析：集合A中的元素其实是（

1

2

，

1

2

）为坐标原点，半径为r的圆上的任一点坐标，而集合B的元素是以（0，0）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素等价与这两圆只有一个公共点即两圆相外切，则圆心距等于两个半径相加得到r的值即可．

解答：解：x(x-1)+y(y-1)=r2-

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2

即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=r2，
据题知集合A中的元素是（

1

2

，

1

2

）为坐标原点，半径为r的圆上的任一点坐标，
集合B的元素是以（0，0）为圆心，r为半径的圆上点的坐标，
因为r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则集合A和集合B只有一个公共元素即两圆有且只有一个交点，则两圆相外切，
圆心距d=R+r；
根据勾股定理求出两个圆心的距离为

2

2

，则

2

2

=2r．∴r=

2

4

．
故答案为：

2

4

．

点评：考查学生运用两圆位置关系的能力，理解集合交集的能力，集合的包含关系的判断即应用能力．