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【题目】已知数列的前n项和为,且,数列满足,其前9项和为63.

(1)求数列的通项公式;

(2)令,数列的前n项和为,若对任意正整数n,都有,求的最小值.

【答案】(1) ann;bn=n+2.

(2) .

【解析】分析:(1)由题意结合所给条件可知数列是首项为1,公差为的等差数列,据此计算可得,利用递推关系式可得.

(2)由(1)裂项求和可得,据此整理计算可得的最小值为.

详解:(1)由2nSn1-2(n+1)Snnn+1),得

所以数列是首项为1,公差为的等差数列,

因此S1+(n-1)×n,即Sn.

于是an1Sn1Snn+1,

所以ann.

因为bn2-2bn1bn=0,所以数列是等差数列,

{bn}的前9项和为63,得=63,

b3=5,所以b7=9,

所以数列{bn}的公差d=1,

bnb3+(n-3)×1=n+2.

(2)由(1)知cn=2+2(),

所以Tnc1c2+…+cn=2n+2(1-+…+

=2n+2(1+)=3-2()+2n

Tn-2n=3-2().

AnTn-2n=3-2().

因为An1An=3-2()-[3-2()]=2()=>0,

所以数列{An}为递增数列,则(AnminA1.

又因为An=3-2<3,所以An<3.

因为对任意正整数nTn-2n[ab],所以ab≥3,则(bamin=3-.

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