【题目】已知数列的前n项和为,,且,数列满足,,其前9项和为63.
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,数列的前n项和为,若对任意正整数n,都有,求的最小值.
【答案】(1) an=n;bn=n+2.
(2) .
【解析】分析:(1)由题意结合所给条件可知数列是首项为1,公差为的等差数列,据此计算可得,利用递推关系式可得.
(2)由(1)裂项求和可得,据此整理计算可得的最小值为.
详解:(1)由2nSn+1-2(n+1)Sn=n(n+1),得-=,
所以数列是首项为1,公差为的等差数列,
因此=S1+(n-1)×=n+,即Sn=.
于是an+1=Sn+1-Sn=-=n+1,
所以an=n.
因为bn+2-2bn+1+bn=0,所以数列是等差数列,
由{bn}的前9项和为63,得=63,
又b3=5,所以b7=9,
所以数列{bn}的公差d==1,
则bn=b3+(n-3)×1=n+2.
(2)由(1)知cn=+=+=2+2(-),
所以Tn=c1+c2+…+cn=2n+2(1-+-+-+…+-+-)
=2n+2(1+--)=3-2(+)+2n,
则Tn-2n=3-2(+).
设An=Tn-2n=3-2(+).
因为An+1-An=3-2(+)-[3-2(+)]=2(-)=>0,
所以数列{An}为递增数列,则(An)min=A1=.
又因为An=3-2<3,所以≤An<3.
因为对任意正整数n,Tn-2n∈[a,b],所以a≤,b≥3,则(b-a)min=3-=.
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【题目】在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
(1)求A的大小;
(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
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【题目】【选修4﹣1几何证明选讲】
如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAE=DCAF,B、E、F、C四点共圆.
(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
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【题目】已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ],并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成(﹣2,4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,点 (n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
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【题目】阅读如下程序框图,如果输出i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )
A.S=2*i﹣2
B.S=2*i﹣1
C.S=2*I
D.S=2*i+4
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【题目】(题文)平面内动点到两定点,距离之比为常数,则动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.现已知定点、,圆心为,
(1)求满足上述定义的圆的方程,并指出圆心的坐标和半径;
(2)若,且经过点的直线交圆于,两点,当的面积最大时,求直线的方程.
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