Question

已知函数f（x）与g（x）的定义域为R，有下列5个命题：
①若f（x-2）=f（2-x），则f（x）的图象自身关于直线y轴对称；
②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
③函数y=f（x+2）与y=f（2-x）的图象关于y轴对称；
④f（x）为奇函数，且f（x）图象关于直线x=

1

2

对称，则f（x）周期为2；
⑤f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且g（x）=f（x-1），则f（x）周期为2．
其中正确命题的序号为

①②③④

．

Answer 1

分析：根据函数奇偶性、周期性的定义和函数图象对称性的定义，对各个选项依此加以推理论证，可得①②③④都是正确的命题，而⑤的结论应该是f（x）周期为4．由此可得本题的答案．

解答：解：对于①，令t=x-2，则2-x=-t，
由于f（x-2）=f（2-x），得f（t）=f（-t），所以函数f（x）是偶函数，
得f（x）的图象自身关于直线y轴对称，故①正确；
对于②，设f（m）=n，则函数y=f（x-2）的图象经过点A（m+2，n）
而y=f（2-x）的图象经过点B（-m+2，n），由于点A与点B是关于x=2对称的点，
故y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，故②正确；
对于③，设F（x）=f（x+2），则f（2-x）=F（-x），由于F（x）与F（-x）图象关于y轴对称，
所以函数y=f（x+2）与y=f（2-x）的图象关于y轴对称，得③正确；
对于④，因为f（x）图象关于直线x=

1

2

对称，所以f（-x）=f（1+x），
结合函数为奇函数，得f（-x）=-f（x），故f（x+1）=-f（x）
由此可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），得f（x）是周期为2的周期函数，故④正确；
对于⑤，f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且g（x）=f（x-1），
则由于g（x）+g（-x）=0，得f（x-1）+f（-x-1）=0，
又因为f（-x-1）=f（x+1），所以f（x-1）+f（x+1）=0，
由此可证出f（x+4）=f（x），得f（x）是周期为4的周期函数，故⑤不正确
故答案为：①②③④

点评：本题给出关于函数奇偶性、周期性和图象对称的几个命题，要求我们找出其中的真命题．着重考查了函数的基本性质与函数图象的作法等知识，属于中档题．