Question

设函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-10．
（I）求t的值及函数f（x）的解析式；
（II）设函数g（x）=f（x）+

1

3

mx
（1）若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围．
（2）假设g（x）有两个极值点x₁，x₂（且x₁≥0，x₂≥0），求x

2 1

+x

2 2

关于m的表达式φ（m），并判断φ（m）是否有最大值，若有最大值求出它；若没有最大值，说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用条件f（x）与x轴相交于一点P（t，0），且在点P（t，0）处的切线方程是y=5x-10，求出对应的b，c．
（II）求函数的导数，利用函数的极值和导数的关系，确定m的取值范围．

解答：解：（I）设切点P（t.0）代入直线方程y=5x-10，得P （2，0），
且有f（2）=0，即4b+c+3=0…①…（2分）
又f'（x）=3x²+4bx+c，由已f'（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0  …②
联立①②，解得b=-1，c=1．
所以函数的解析式f（x）=x³-2x²+x-2    …（4分）
（II）（1）因为g(x)=x3-2x2+x-2+

1

3

mx，
g′(x)=3x2-4x+1+

1

3

m=0，
当函数有极值时，则△≥0，方3x2-4x+1+

1

3

m=0有实数解，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．        …（8分）
①当m=1时，g'（x）=0有实数x=

2

3

，在x=

2

3

的左右两侧均g'（x）＞0，故函数g（x）无极值
②当m＜1时，g'（x）=0有两个实数根x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
g'（x），g（x）情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值；…（10分）
（2）由（1）得m∈（-∞，1）且x₁+x₂=

4

3

，x1x2=

3+m

9

．
x12+x22=φ(m)=(x1+x2)2-2x1x2=

16

9

-

2(3+m)

9

=

10-m

9

…（12分）
∵x1x2=

3+m

9

．≥0，m∈（-∞，1）
∴φ(m)=

10-m

9

，-3≤m＜1，故φ（m）有最大值为φ（-3）=

13

9

…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，要使熟练掌握导数和函数的单调性和极值的关系，运算量较大，综合性较强．