Question

设[x]表示不超x的最大整数（如[2]=2，[

5

4

]=1），对于给定的n∈N^*，定义

C

x n

=

n(n-1)(n-2)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

，x∈[1，+∞)，则 （i）

C

3 2 8

=

16

3

；（ii）当x∈[2，3）时，函数

C

x 8

的值域是

(

28

3

，28]

．

Answer 1

分析：对于题目中新定义的：“

C

x n

=

n(n-1)(n-2)…(n-[x]+1)

x(x-1)…(x-[x]+1)

，x∈[1，+∞)，”理解是解决此题的问题，如求

C

3 2 8

，它是由一个分式的分子和分母两部分构成，分子是8，分母是

3

2

的分数．按此理解将函数C^x₈的值域问题转化成一个函数的值域求解．

解答：解：当x=

3

2

时，[

3

2

]=1，

C

3 2 8

=

8

3 2

=

16

3

；
当x∈[2，3）时，∵[x]=2，∴C^x_n=

n(n-1)

x(x-1)

，
∴C^x₈=

8×7

x(x-1)

=

56

x(x-1)

．
又∵当x∈[2，3）时，f（x）=x（x-1）∈[2，6），
∴当[2，3）时，

C

2 8

=

8×7

2×1

=28，
当x→3时，[x]=2，

C

x 8

=

8×7

3×2

=

28

3

，
∴C^x₈=

56

x(x-1)

∈（

28

3

，28）．
故答案为：

16

3

，(

28

3

，28]．

点评：本题是一道创新题，新的高考，每年均会出现一定新颖的题目，我们只要认真审题，细心研究，活用基础知识，把握数学思想、数学方法，构建知识结构和认知结构，实现知识到能力的转化．