Question

8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍，且经过点M（2，$\sqrt{2}$）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过圆O：x²+y²=$\frac{8}{3}$上任意一点作圆的一条切线交椭圆C于A，B两点．
①求证：OA⊥OB；
②求|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，代点求b²可得；
（2）①证明：当切线斜率不存在时，易得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即OA⊥OB；
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y并由韦达定理验证$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0即可；
②由①知当切线斜率不存在时，|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$；当切线斜率存在时，由弦长公式可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|，由韦达定理和换元的思想结合不等式的性质可得此时|AB|的范围，综合可得．

解答 解：（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍，
∴a=2b，∴可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵椭圆C经过点M（2，$\sqrt{2}$），∴$\frac{4}{2{b}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
解得b²=4，∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）①证明：当切线斜率不存在时，方程为x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
与椭圆的两个交点为（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）或（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
此时有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，OA⊥OB；
当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx+m，
与椭圆方程联立消去y并整理可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
由△＞0可得8k²-m²+4＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵直线与圆O：x²+y²=$\frac{8}{3}$相切，∴d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8}{3}}$，∴3m²=8k²+8，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$=0，
综上可得OA⊥OB；
②由①知当切线斜率不存在时，|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
当切线斜率存在时，由弦长公式可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}]}$
把3m²=8k²+8代入化简可得|AB|=$\sqrt{\frac{32（4{k}^{2}+1）（{k}^{2}+1）}{3（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
令1+2k²=t，则t≥1，且k²=$\frac{1}{2}$（t-1），代入上式可得|AB|=$\sqrt{\frac{32{t}^{2}-32}{3{t}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{32}{3}-\frac{32}{3{t}^{2}}}$，
由t≥1可得3t²≥3，∴0＜$\frac{1}{3{t}^{2}}$≤$\frac{1}{3}$，∴-$\frac{32}{3}$≤-$\frac{32}{3{t}^{2}}$＜0，
∴0≤$\frac{32}{3}$-$\frac{32}{3{t}^{2}}$＜$\frac{32}{3}$，∴0≤$\sqrt{\frac{32}{3}-\frac{32}{3{t}^{2}}}$＜$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴|AB|的取值范围为[0，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$），
综合可得|AB|的取值范围为[0，$\frac{4\sqrt{6}}{3}$]

点评 本题考查椭圆的性质，涉及直线和圆锥曲线的位置关系以及弦长公式，属难题．