Question

A、B是抛物线y=2x²上的两点，直线l是线段AB的垂直平分线，当直线l的斜率为

1

2

时，则直线l在y轴上截距的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设直线l的方程为 y=

1

2

 x+b，设AB的方程为y=-2x+c，把把AB的方程代入抛物线y=2x²化简可得
2x²+2x-c=0，利用根与系数的关系及中点公式求得线段AB的中点M的坐标，把M的坐标代入直线l的方程可得c=b-

5

4

＞-

1

2

，解得b的范围．

解答：解：设直线l的方程为 y=

1

2

x+b，则AB的斜率为-2，设AB的方程为y=-2x+c，
把AB的方程 y=-2x+c代入抛物线y=2x²化简可得  2x²+2x-c=0，∴x₁+x₂=-1，、
且判别式△=4+8c＞0，∴c＞-

1

2

．
故线段AB的中点 M（-

1

2

，1+c ），由题意知，点 M（-

1

2

，1+c ）在直线l上，
∴1+c=

1

2

（-

1

2

）+b，∴c=b-

5

4

＞-

1

2

，∴b＞

3

4

，
故直线l在y轴上截距的取值范围是 （

3

4

，+∞），
故答案为 （

3

4

，+∞）．

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，线段的中垂线的性质，得到 c=b-

5

4

＞-

1

2

，是解题的关键．