Question

函数f（x）为定义在R上的奇函数，当 x∈（0，1）时，．
（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并证明．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，
当x∈（-1，0）时，f（-x）===-f（x），
∴x∈（-1，0）时，f（x）=-
综上所述，
（2）∵当 x∈（0，1）时，．
∴令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=-=
∵-＜0，＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂）
由此可得，函数f（x）在（0，1）上的是单调增函数．
分析：（1）函数f（x）为定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；再根据当x∈（0，1）时的表达式，可得x∈（-1，0）时，
f（x）=-，综上所述即得函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）利用单调性的定义，令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=，因为-＜0，•＞0，所以f（x₁）＜f（x₂）．由此可得，函数f（x）在（0，1）上的是单调增函数．
点评：本题以含有指数式的分式函数为例，考查了函数的单调性与奇偶性等简单性质等知识点，属于中档题．