Question

16．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）-3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（　　）

• A． （$\frac{ln4}{3}$，+∞）
• B． （$\frac{ln2}{3}$，+∞）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{\sqrt{e}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，设函数f（x）=ae^bx+c，由f（0）=1得a+c=1；
再由3f（x）=f′（x）-3，得$\left\{\begin{array}{l}{3a-ab=0}\\{-3-3c=0}\end{array}\right.$；
由此求出f（x）的解析式，再解不等式4f（x）＞f′（x）即可．

解答 解：∵3f（x）=f′（x）-3，
∴f′（x）=3f（x）+3；
可设f（x）=ae^bx+c，
由f（0）=1，∴a+c=1；
又3f（x）=f′（x）-3，
∴3ae^bx+3c=abe^bx-3，
即（3a-ab）e^bx=-3-3c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-ab=0}\\{-3-3c=0}\end{array}\right.$，
解得b=3，c=-1，a=2；
∴f（x）=2e^3x-1，x∈R；
又4f（x）＞f′（x），
∴8e^3x-4＞6e^3x，
即e^3x＞2，
解得x＞$\frac{ln2}{3}$，
所求不等式的解集为（$\frac{ln2}{3}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了函数的导数应用问题，也考查了构造函数与转化思想的应用问题，是难题．