Question

在椭圆+=1内有一点M（4，-1），使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程．

Answer 1

【答案】分析：假设直线AB的方程与椭圆方程联立，消去y得x的方程，利用M是弦AB的中点，建立方程，可求得k的值，验证此时方程的判别式大于0，从而得解．
解答：解：由题意，直线的斜率存在
设直线的斜率为k，则方程为y+1=k（x-4），与椭圆+=1联立，
消去y得（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0，
∴x₁+x₂=
∵M是弦AB的中点，
∴=8，解得k=1，
此时方程（1+4k²）x²-（32k²+8k）x-40=0的判别式大于0，从而直线AB与椭圆有两个交点，k=1符合题意．
∴AB的方程是x-y-5=0．
点评：本题考查的重点是椭圆中弦中点问题，解题的关键是假设方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求解．