Question

（1）把11本不同的书，分成四组，每组本数是1，2，3，5有几种分组方法？
（2）把11本不同的书，分成五组，每组本数是2，2，3，3，1，有几种分组方法？
（3）把11本不同的书，借给五个同学，每人本数是2，2，3，3，1，有几种不同的借法？

Answer 1

分析：（1）首先从11本书中选1本，再从10本书中选2本，再从8本书中选3本，剩下5本作为最后一组，根据分步计数原理得到结果．
（2）首先从11本书中选2本，再从9本书中选2本，再从7本书中选3本，剩下4本选3本，最后1本作为一组，有四组是两次重复出现，把求的结果除以两个2的全排列．
（3）首先把书分组，从11本书中选2本，再从9本书中选2本，再从7本书中选3本，剩下4本选3本，最后1本作为一组，有四组是两次重复出现，把这些书借给5个人看，还有一个排列．

解答：解：（1）把11本不同的书，分成四组，每组本数是1，2，3，5，
首先从11本书中选1本，再从10本书中选2本，
再从8本书中选3本，剩下5本作为最后一组，
根据分步计数原理知共有C₁₁¹C₁₀²C₈³C₅⁵=27720，

（2）把11本不同的书，分成五组，每组本数是2，2，3，3，1，
首先从11本书中选2本，再从9本书中选2本，
再从7本书中选3本，剩下4本选3本，最后1本作为一组，
有四组是两次重复出现，
共有

C 2 11 C 2 9 C 3 7 C 3 4 C 1 1

A 2 2 A 2 2

=69300，

（3）把11本不同的书，借给五个同学，每人本数是2，2，3，3，1，
首先把书分组，从11本书中选2本，再从9本书中选2本，
再从7本书中选3本，剩下4本选3本，最后1本作为一组，
有四组是两次重复出现，共有

C 2 11 C 2 9 C 3 7 C 3 4 C 1 1

A 2 2 A 2 2

=69300种分法，
把这些书借给5个人看，还有一个排列69300A₅⁵=8316000种结果．

点评：本题考查分步计数原理，考查排列组合的实际应用，考查平均分组问题，是一个易错题，特别是平均分组以后还有一个排列，注意把三种情况进行比较．