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在如图所示的几何体中,AE⊥平面ABC,CD∥AE,F是BE的中点,AC=BC=1,∠ACB=90°,AE=2CD=2.
(1)证明:DF⊥平面ABE;
(2)求二面角A-BD-F大小的余弦值.
分析:(1)将DF平移到CG的位置,欲证DF⊥平面ABE,即证CG⊥平面ABE,根据线面垂直的判定定理可知,只需证CG与平面ABE内的两相交直线垂直即可;
(2)过点A作AM⊥BE于M,过点M作MN⊥BD于N,连接AN,∠ANM是二面角A-BD-E的平面角,在Rt△AMN中,利用余弦函数求出此角.
解答:(1)证明:取AB的中点G,连接CG、FG.
因为CD∥AE,GF∥AE,所以CD∥GF.
又因为CD=1,GF=
1
2
AE,所以CD=GF.
所以四边形CDFG是平行四边形,DF∥CG.(2分)
在等腰Rt△ACB中,G是AB的中点,所以CG⊥AB.
因为EA⊥平面ABC,CG?平面ABC,所以EA⊥CG.
而AB∩EA=A,所以CG⊥平面ABE.
又因为DF∥CG,所以DF⊥平面ABE;
(2)解:因为DF⊥平面ABE,DF?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABE.
过点A作AM⊥BE于M,则AM⊥平面BDE,所以AM⊥BD.
过点M作MN⊥BD于N,连接AN,则BD⊥平面AMN,所以BD⊥AN.
所以∠ANM是二面角A-BD-F的平面角,
在Rt△ABE中,AM=
AE•AB
BE
=
2
3
3

因为AD=BD=AB=
2
,所以△ABD是等边三角形.
又AN⊥BD,所以AN=
3
2
AB
=
6
2
,MN=
6
6

在Rt△AMN中,cos∠ANM=
MN
AN
=
1
3

所以二面角A-BD-E的余弦值是
1
3
点评:本题主要考查线面关系及面面角,考查学生分析解决问题的能力,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
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