Question

11．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）若数列b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由递推式，运用代入法，计算可得所求值；
（Ⅱ）a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2[$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$]，运用裂项相消求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，
∴a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{2{a}_{2}}{2+{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，a₄=$\frac{2{a}_{3}}{2+{a}_{3}}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
即有$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
即为a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2[$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$]，
从而s_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=2[1-$\frac{1}{n+1}$]=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用取倒数，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的能力，属于中档题．