Question

【题目】已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，

故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．

（2）解：直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，

要使直线l不经过第四象限，则 ，

解得k的取值范围是k≥0．

（3）解：依题意，直线l在x轴上的截距为﹣ ，在y轴上的截距为1+2k，

∴A（﹣ ，0），B（0，1+2k），

又﹣ ＜0且1+2k＞0，

∴k＞0，故S= |OA||OB|= × （1+2k）

= （4k+ +4）≥ （4+4）=4，

当且仅当4k= ，即k= 时，取等号，

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．

【解析】1、由特殊值法可求出直线l总过定点（﹣2，1）。
2、根据题意把直线的方程化为斜截式，由斜率和y轴上的截距限制直线l不经过第四象限，即得k的取值范围。
3、根据题意可求得，直线l在x轴上的截距和在y轴上的截距，由已知x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以得到k的取值范围；利用基本不等式可求得S的最小值为4，当且仅当4k= ,即k= 时成立，故求得S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0。
【考点精析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用的相关知识点，需要掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能正确解答此题．