【题目】已知向量 =(1+cosωx,1), =(1,a+ sinωx)(ω为常数且ω>0),函数f(x)= 在R上的最大值为2.
(1)求实数a的值;
(2)把函数y=f(x)的图象向右平移 个单位,可得函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0, ]上为增函数,求ω的最大值.
【答案】
(1)解:f(x)=1+cosωx+a+ sinωx=2sin(ωx+ )+a+1.
因为函数f(x)在R上的最大值为2,
所以3+a=2,故a=﹣1.
(2)解:由(1)知:f(x)=2sin(ωx+ ),
把函数f(x)=2sin(ωx+ )的图象向右平移 个单位,可得函数
y=g(x)=2sinωx.
又∵y=g(x)在[0, ]上为增函数,
∴g(x)的周期T= ≥π,即ω≤2,
∴ω的最大值为2
【解析】(1)把向量 =(1+cosωx,1), =(1,a+ sinωx)(ω为常数且ω>0),代入函数f(x)= 整理,利用两角和的正弦函数化为2sin(ωx+ )+a+1,根据最值求实数a的值;(2)由题意把函数y=f(x)的图象向右平移 个单位,可得函数y=g(x)的图象,利用y=g(x)在[0, ]上为增函数,就是周期≥π,然后求ω的最大值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识,掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象,以及对三角函数的最值的理解,了解函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则,,.
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【题目】某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
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【题目】已知横梁的强度和它的矩形横断面的长的平方与宽的乘积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的长和宽分别为 ( )
A. d, d B. d, d
C. d, d D. d, d
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【题目】某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额为x(x≥0)万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元,其中f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x+b)(a>0,b>0).已知投资额为零时收益为零.
(1)求a,b的值;
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大利润.
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【题目】下列命题中:
①线性回归方程 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn ,yn)中的一个点;
②若变量和之间的相关系数为 ,则变量和之间的负相关很强;
③在回归分析中,相关指数 为0.80的模型比相关指数为0.98的模型拟合的效果要好;
④在回归直线中,变量时,变量的值一定是-7。
其中假命题的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(a-3b)cos C=c(3cos B-cos A).
(1)求的值; (2)若c=a,求角C的大小.
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【题目】“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为).当返回舱距地面1万米的点的时(假定以后垂直下落,并在点着陆),救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向,仰角为60°,救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向,仰角为30°,救援中心测得着陆点位于其正东方向.
(1)求两救援中心间的距离;
(2)救援中心与着陆点间的距离.
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【题目】设数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a1=3,a2+a3=36.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}对任意的正整数n都有 + + +…+ =2n+1,求b1+b2+b3+…+b2015的值.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an﹣p,其中p是不为零的常数.
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)当p=3时,若数列{bn}满足bn+1=bn+an(n∈N*),b1=2,求数列{bn}的通项公式.
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