Question

已知、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点A的坐标求出a，然后根据求出b，综合即可求出椭圆M的方程．
（2）根据题意设出直线方程，与（1）中M的方程联立，然后运用设而不求韦达定理进行计算，求出实数t的取值范围．
解答：解：（1）∵点A的坐标为（，）
∴，椭圆方程为                 ①
又∵．，且BC过椭圆M的中心O（0，0），
∴．
又∵，
∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，
易得C点坐标为（，）
将（，）代入①式得b²=4
∴椭圆M的方程为
（2）当直线l的斜率k=0，直线l的方程为y=t
则满足题意的t的取值范围为-2＜t＜2
当直线l的斜率k≠0时，设直线l的方程为y=kx+t
由
得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-12=0
∵直线l与椭圆M交于两点P、Q，
∴△=（6kt）²-4（3k²+1）（3t²-12）＞0
即t²＜4+12k² ②
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ中点H（x，y），
则H的横坐标，
纵坐标，
D点的坐标为（0，-2）
由，
得DH⊥PQ，k_DH•k_PQ=-1，
即，
即t=1+3k²．                                       ③
∴k²＞0，∴t＞1．                                 ④
由②③得0＜t＜4，
结合④得到1＜t＜4．
综上所述，-2＜t＜4．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及椭圆的标准方程问题．涉及直线与椭圆的位置关系，以及熟练运用韦达定理的方法．属于中档题．