Question

各棱长均为2的斜三棱柱ABC-DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE=O，AB=AE，连接AO．
（I）求证：AO⊥平面FEBC．
（II）求二面角B-AC-E的大小．
（III）求三棱锥B-DEF的体积．

Answer 1

分析：（I）在平面内找到两条相交直线与直线AO垂直即可证明线面垂直．
（II）求二面角的平面角分为三步：①作角即作出二面角的平面角②证角即证明所作的角是所求的角③利用解三角形的知识求出二面角的大小．
（III）利用等体积法求出距离，即把三棱锥的顶点换一个使其高与底面积都易求．

解答：解：（I）因为BCFE是菱形，所以BF⊥EC．
又因为BF⊥AE，且AE∩ED=E，所以BF⊥平面AEC．
而AO?平面SEC，所以BF⊥AO，
因为AE=AB，AB=AC，
所以AE=AC．
所以AO⊥EC，且BF∩EC=O，所以AO⊥平面BCFE．
（II）取AC的中点H，连接BH，OH，
因为△ABC是等边三角形，
所以BH⊥AC．
因为OB⊥平面ACE，
所以OH是BH在平面AOC上的射影，所以OH⊥AC．
所以∠OHB是二面角B-AC-E的平面角．
因为△AOE≌△AOB，所以OE=OB．
所以四边形BCFE为正方形．
在直角△BCO中，BH=

3

，BO=

2

，
所以sin∠BHO=arcsin

6

3

．
所以二面角B-AC-E的大小为arcsin

6

3

．
（III）∵DA∥BE，BE?平面BCFE，
∴DA∥平面BCFE，
∴点D、A到平面BCFE的距离相等
∴V_B-DEF=V_D=BEF=V_A-BEF

∴VB-DEF=

2 2

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，进而解决线面垂直与平行问题以及空间角、空间距离问题，主要考查学生的空间想象能力与推理论证能力．