Question

19．设p：函数f（x）=x³e^3ax在区间（0，2]上单调递增；q：函数g（x）=ax-$\frac{a}{x}$+2lnx在其定义域上存在极值．
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若p为真命题，则f'（x）=3x²e^3ax（1+ax）≥0对x∈（0，2]恒成立，解得实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则命题p与q一真一假，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）因为f'（x）=3x²e^3ax+3ax³e^3ax=3x²e^3ax（1+ax），
所以f'（x）=3x²e^3ax（1+ax）≥0对x∈（0，2]恒成立，…（1分）
因为3x²e^3ax＞0，所以1+ax≥0对x∈（0，2]恒成立，…（3分）
所以$a≥{（{-\frac{1}{x}}）_{max}}=-\frac{1}{2}$，即a的取值范围为$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$…（4分）
（2）对于$q，g（x）=ax-\frac{a}{x}+2lnx，g'（x）=a+\frac{a}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}+2x+a}}{x^2}$，…（5分）
若a≥0，g'（x）＞0，g（x）在定义域内单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意；…（6分）
若a＜0，则$-\frac{1}{a}＞0$，由△=4-4a²＞0，解得-1＜a＜0．
所以，若q为真命题，则-1＜a＜0，…（8分）
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以命题p与q一真一假，
①p真q假时，$\left\{{\begin{array}{l}{a≥-\frac{1}{2}}\\{a≥0或a≤-1}\end{array}}\right.$，解得a≥0，
②p假q真时，$\left\{{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{2}}\\{-1＜a＜0}\end{array}}\right.$，解得$-1＜a＜-\frac{1}{2}$
综上所述，a的取值范围为$（{-1，-\frac{1}{2}}）∪[{0，+∞}）$…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合函数，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，难度中档．