Question

在二项式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．

Answer 1

分析：二项展开式的前三项的系数分别为1，

n

2

，

1

8

n（n-1）成等差数列，可求得n，利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的有理项和二项式系数最大的项．

解答：解：∵二项展开式的前三项的系数分别为1，

n

2

，

1

8

n（n-1）…2分
∴2•

n

2

=1+

1

8

n（n-1），
解得n=8或n=1（不合题意，舍去）…4分
∴T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

2

•(

1

2

)r•x-

r

4

=

C

r 8

•2^-r•x4-

3r

4

，
当4-

3r

4

∈Z时，T_r+1为有理项，
∴0≤k≤8且k∈Z，
∴k=0，4，8符合要求…8分
故有理项有3项，分别是：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2，
∵n=8，
∴展开式中共9项，中间一项即第5项的系数最大，T₅=

35

8

x…12分

点评：本题考查二项式定理及二项式系数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．