Question

已知分别以d₁和d₂为公差的等差数列{a_n}和{b_n}满足a₁=18，b₁₄=36，
（1）若d₁=18，d₂≥2917，且a_m²=b_m+14-45，求m的取值范围；
（2）若a_k=b_k=0，且数列a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+1，…，b₁₄…的前n项和S_n满足S₁₄=2S_k，
①求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
②令An=aan，Bn=abn，a＞0且a≠1，探究不等式A_nB_n+1＜A_n+B_n是否对一切正整数n恒成立？

Answer 1

分析：（1）因为等差数列{a_n}中，a₁=18，d₁=18，所以a_m=a₁+（m-1）d₁=18m，因为等差数列{b_n}中，b₁₄=36，d₂≥2917，所以b_m+14=b₁₄+md₂=36+md₂，由a_m²=b_m+14-45，能求出m的取值范围
（2）①因为a_k=b_k=0，所以S₁₄=2S_k，即b_k+b_k+1+b_k+2+…+b₁₄=S_k，所以

(15-k)(0+36)

2

=

k(18+0)

2

，解得k=10，由此能求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
②因为a_n=20-n，b_n=9n-90，所以An=aan=a20-2n=(a10-n)2，Bn=a9n-90=(an-10)9，又A_nB_n+1＜A_n+B_n等价于（A_n-1）（B_n-1）≤0，且a＞0且a≠1，由此进行分类讨论能求出当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立．

解答：解：（1）因为等差数列{a_n}中，a₁=18，d₁=18，
所以a_m=a₁+（m-1）d₁=18m，
因为等差数列{b_n}中，b₁₄=36，d₂≥2917，
所以b_m+14=b₁₄+md₂=36+md₂，（2分）
又因为a_m²=b_m+14-45，
所以（18m）²=md₂-9，
故有d2=

324m2+9

m

≥2917，
因为m∈N*，所以m≥9； …（4分）
（2）①因为a_k=b_k=0，
所以S₁₄=2S_k，
即b_k+1+b_k+2+…+b₁₄=S_k，
亦即b_k+b_k+1+b_k+2+…+b₁₄=S_k，
所以有

(15-k)(0+36)

2

=

k(18+0)

2

，
解得k=10，（6分）
由a_k=a₁+（k-1）d₁，b_k=b₁₄+（k-14）d₂知，d₁=-2，d₂=9，（8分）
所以a_n=20-2n，
b_n=9n-90；  （10分）
②因为a_n=20-n，b_n=9n-90，
所以An=aan=a20-2n=(a10-n)2，Bn=a9n-90=(an-10)9，
又A_nB_n+1＜A_n+B_n等价于（A_n-1）（B_n-1）≤0，且a＞0且a≠1，
当a＞1时，若n=10时，（A_n-1）（B_n-1）=（a⁰-1）（a⁰-1）=0，
若n＜10时，a^10-n＞1，a^n-10＜1，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立，
若n＞10时，a^10-n＜1，a^n-10＞1，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立，
所以当a＞1时，对任意n∈N*，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立． （14分）
同理可证，当0＜a＜1时，对任意n∈N*，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立．
即当a＞0且a≠1时，对任意n∈N*，
所以（A_n-1）（B_n-1）≤0成立．（16分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．