Question

如图，Rt△ABC的顶点坐标A（-3，0），直角顶点B（-1，-2

2

），顶点C在x轴上．
（1）求BC边所在直线方程；
（2）M为Rt△ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
（3）直线l与圆相切于第一象限，求切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小时的切线方程．

Answer 1

分析：（1）由顶点B，C的坐标可求BC的斜率，再根据点C（3，0）可求BC边所在直线方程；
（2）Rt△ABC外接圆是以O为原点，3为半径的圆，从而可求圆M的方程；
（3）设直线方程为

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，利用直线l与圆相切可知

ab

a2+b2

=3，从而利用均值不等式有ab≥18，因此可求直线方程．

解答：解：（1）kBC=

1

2

，∵C（3，0），∴BC：x-

2

y-3=0．
（2）由（1）知C（3，0），∵M为Rt△ABC外接圆的圆心，所以M坐标为（0，0），所以圆M：x²+y²=9．
（3）设直线方程为

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，即bx+ay-ab=0，S△=

1

2

ab．
由相切可知

ab

a2+b2

=3．由均值不等式3=

ab

a2+b2

≤

ab

2ab

=

ab

2

，则ab≥18．
所以S△=

1

2

ab≥9，当且仅当a=b=3

2

时等号成立，则直线方程为x+y-3

2

=0．

点评：本题主要考查直线与圆的方程的求解，考查基本不等式的运用，属于基础题