Question

10．已知f（x）=log₃$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$，则f（x）在区间[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]上的最小值为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 令t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$，分x=$\frac{π}{2}$和x$≠\frac{π}{2}$求取t的范围，然后利用对数函数的性质求得原函数的值域，则f（x）在区间[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]上的最小值可求．

解答 解：令t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$，x∈[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]，
当x=$\frac{π}{2}$时，t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$=1，f（x）=g（t）=log₃t=log₃1=0；
当x$≠\frac{π}{2}$时，t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$=$\frac{tanx-1}{tanx+1}=\frac{tanx+1-2}{tanx+1}=1-\frac{2}{tanx+1}$，
由x∈[$\frac{5}{12}$π，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{7}{12}$π]，得
tanx∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$，+∞）∪（-∞，$\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$]，
∴tanx+1∈∈[$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-3}$，+∞）∪（-∞，$\frac{2}{1-\sqrt{3}}$]，
则-$\frac{2}{tanx+1}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1，0）∪（0，$\sqrt{3}-1$]，
∴t∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）∪（1，$\sqrt{3}$]，
则log₃t∈[$-\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$]．
综上，f（x）在区间[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]上的值域为[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．
∴f（x）在区间[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]上的最小值为$-\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查与三角函数有关的最值，考查了对数函数的性质，令t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$并求取t的范围是解答该题的关键，是中档题．