Question

右图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m²）与时间t（月）的关系为：y=a^t．有以下判断：①这个指数函数的底数为2；②第5个月后，浮萍面积就会超过30m²；③浮萍每月增加的面积都相等；④若浮萍蔓延到2m²，3m²，6m²所经过的时间分别为t₁，t₂，t₃，则t₁+t₂=t₃．其中判断正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：本题考查的是函数模型的选择和应用问题．在解答时，首先应该仔细观察图形，结合图形读出过的定点进而确定函数解析式，结合所给月份计算函数值从而获得相应浮萍的面积进而对问题作出判断，至于第③要充分结合对数运算的运算法则进行计算验证．

解答：解：由题意可知：浮萍蔓延的面积（m²）与时间（月）的关系：y=a^x（a＞0且a≠1），且由函数图象可知函数过点（1，2），
∴a¹=2，∴a=2，∴这个指数函数的底数是2正确；
∴函数的解析式为：y=2^x，
所以当x=5 时，y=2⁵=32＞30，故第5个月时，浮萍的面积就会超过30m²成立；
对于③：浮萍一月增加的面积与浮萍二月增加的面积不相等，故错；
对④由于：2=2t1，3=2t2，6=2t3，
∴t₁=1，t₂=log₂³，t₃=log₂⁶，
又因为1+log₂³=log₂²+log₂³=log₂^2×3=log₂⁶，
∴若浮萍蔓延到2m²、3m²、6m²所经过的时间分别为t₁、t₂、t₃，则t₁+t₂=t₃成立．
故正确为：①②④．
故选C．

点评：本题考查的是函数模型的选择和应用问题．在解答的过程当中充分体现了观察图形、分析图形和利用图形的能力，同时对数求值和对数运算的能力也得到了体现，值得同学们体会与反思．