Question

如图，已知多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE

∥ .

.

1

2

CD，△ABC是正三角形．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC、BD的中点M、N，连接AM、EN和MN，则MN

∥ .

.

1

2

CD．由AE

∥ .

.

1

2

CD，知MN

∥ .

.

AE，由AE⊥平面ABC，知AE⊥AM，所以ABMN为矩形，NE⊥MN．由此入手能够证明面BCE⊥面CDE．
（Ⅱ）过C作直线l∥AB，则l∥DE，所以面ABC∩面EDC=l．由AB⊥平面ACD，知l⊥面ACD，所以∠ACD即为所求二面角的平面角，由此能求出其结果．

解答：（Ⅰ）证明：取BC、BD的中点M、N，连接AM、EN和MN，
则MN

∥ .

.

1

2

CD．
∵AE

∥ .

.

1

2

CD，∴MN

∥ .

.

AE，
又AE⊥平面ABC，AM⊆面ABC，∴AE⊥AM，
∴ABMN为矩形，∴NE⊥MN．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，
∵△ACD为正三角形，N为CD的中点，
∴AN⊥CD，又面CDE∩面ACD=CD，
∴AN⊥面CDE，∴CM⊥面CDE，∴面BCE⊥面CDE；
（Ⅱ）解：过C作直线l∥AB，则l∥DE，
∴面ABC∩面EDC=l．
∵AB⊥平面ACD，∴l⊥面ACD，
∴∠ACD即为所求二面角的平面角，为60⁰．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明和求二面角的大小，解题时要认真审题，注意把空间几何问题等价转化为平面几何问题．