Question

（1）解不等式：

1

x+1

＜1；
（2）若不等式ax²+5x-2＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜2}，求不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）分x+1＜0和x+1＞0两种情况加以讨论，分别解关于x的不等式，最后综合即可得到不等式

1

x+1

＜1的解集；
（2）不等式ax²+5x-2＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜2}，结合一元二次方程根与系数的关系算出a=-2，从而不等式ax²-5x+a²-1＞0即-2x²-5x+3＞0，因此不难得出所求不等式的解集．

解答：解：（1）①当x+1＜0时，即x＜-1时，
∵

1

x+1

＜0，∴

1

x+1

＜1恒成立，此时x∈（-∞，-1）；
②当x+1＞0时，即x＞-1时，原不等式即0＜

1

x+1

＜1，
解之得x＞0，即x∈（0，+∞）
综上所述，不等式

1

x+1

＜1的解集为（-∞，-1）∪（0，+∞）；
（2）∵不等式ax²+5x-2＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜2}，
∴ax²+5x-2=0的根是x₁=

1

2

，x₂=2，且a＜0
因此x₁x₂=-

2

a

=

1

2

×2=1，解之得a=-2
不等式ax²-5x+a²-1＞0即-2x²-5x+3＞0，整理得2x²+5x-3＞0
解之，可得-3＜x＜

1

2

，
即不等式ax²-5x+a²-1＞0的解集为（-3，

1

2

）

点评：本题给出含有字母参数不等式的解集，求参数的值并解另一个一元二次不等式，着重考查了一元二次不等式的解法及其应用等知识，属于基础题．