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已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,M(4,t)(t>0)为抛物线C上的点,且|MF|=5.
(Ⅰ)求抛物线C的方程和点M的坐标;
(Ⅱ)过点M引出斜率分别为k1,k2的两直线l1,l2,l1与抛物线C的另一交点为A,l2与抛物线C的另一交点为B,记直线AB的斜率为k3
(ⅰ)若k1+k2=0,试求k3的值;
(ⅱ)证明:
1
k1
+
1
k2
-
1
k3
为定值.
考点:直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(Ⅰ)方法一:利用焦半径公式求出p,得到抛物线方程,又M(4,t)(t>0)在抛物线C上,
求出M的坐标.
方法二:通过M(4,t)(t>0)为抛物线C上的点,得到t、p关系式利用|MF|=5,
得到另一个关系式,联立解得p,t,即可得到抛物线C的方程,点M的坐标;
(Ⅱ)(ⅰ)设直线l1:y-4=k1(x-4),l1与抛物线C交于M、A两点,联立方程组,利用韦达定理求出A的坐标,讨论推出B的坐标即可求解AB的斜率.
(ⅱ)由(ⅰ)求出k3,然后计算
1
k1
+
1
k2
-
1
k3
=2
,即可证明:
1
k1
+
1
k2
-
1
k3
为定值.
解答: 满分(13分).
解:(Ⅰ)方法一:∵|MF|=5=4+
p
2
,∴p=2,…(2分)
∴抛物线C:y2=4x.…(3分)
又M(4,t)(t>0)在抛物线C上,
∴t2=4×4=16⇒t=4.∴M(4,4).…(4分)
方法二:∵M(4,t)(t>0)为抛物线C上的点,∴t2=8p…①.…(1分)
∵抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F坐标为(
p
2
,0)
,且|MF|=5,
(4-
p
2
)2+t2=25
…②. …(3分)
联立①②解得p=2,t=4(t>0),
∴抛物线C的方程为y2=4x,点M的坐标为(4,4).…(4分)
(Ⅱ)(ⅰ)设直线l1:y-4=k1(x-4),
∵l1与抛物线C交于M、A两点,∴k1≠0.…(5分)
y-4=k1(x-4)
y2=4x
得:k1y2-4y+16-16k1=0,…(6分)
设A(x1,y1),则
y1+4=
4
k1
y1•4=
16-16k1
k1
,…(7分)
y1=
4-4k1
k1
x1=
4(1-k1)2
k12
,即A(
4(1-k1)2
k12
4-4k1
k1
)
.…(8分)
同理可得B(
4(1-k2)2
k22
4-4k2
k2
)
.…(9分)
∵k1+k2=0,∴k2=-k1B(
4(1+k1)2
k12
4+4k1
-k1
)

k3=kAB=
4-4k1
k1
-
4+4k1
-k1
4(1-k1)2-4(1+k1)2
k12
=-
1
2
.…(10分)
(ⅱ)证明:由(ⅰ)可知
k3=
4-4k1
k1
-
4-4k2
k2
4(1-k1)2
k
2
1
-
4(1-k2)2
k22
=
k1k2(k2-k1)
(k1+k2-2k1k2)(k2-k1)
.

=
k1k2
k1+k2-2k1k2
=
1
1
k1
+
1
k2
-2

1
k3
=
1
k1
+
1
k2
-2

1
k1
+
1
k2
-
1
k3
=2

即证得
1
k1
+
1
k2
-
1
k3
为定值.…(13分)
点评:本题主要考查抛物线的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想等.
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3

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4
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1
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歌手
评委   得分
歌手1歌手2歌手3歌手4歌手5
评委19.088.898.808.918.81
评委29.128.958.868.869.12
评委39.188.958.998.909.00
评委49.159.009.058.809.04
评委59.158.909.108.939.04
评委69.199.029.179.039.15
比赛规则:从6位评委打分中去掉一个最高分,去掉一个最低分,根据剩余4位评委打分算出平均分作为该歌手的最终得分.
(1)根据最终得分,确定5位歌手的名次;
(2)若对评委水平的评价指标规定为:计数他对每位歌手打分中最高分、最低分出现次数的和,和越小则评判水平越高.请以此为标准,对6位评委的评判水平进行评价,以便确定下次聘请其中的4位评委.

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a1
3b
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e1
=
1
-3

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AC
AB
DC
i
=0(其中0<λ<1,
i
是y轴上的单位向量),若|
DC
|≤T(T为常数)在区间[a,b]上恒成立,则称y=f(x)在区间[a,b]上具有“T性质”.现有函数:①y=2x+1;②y=
2
x
+1
;③y=x2;④
OB
.则在区间[1,2]上具有“
1
4
性质”的函数为
 

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1
2
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