Question

6．从点A（-2，1）发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M：x²+y²-4x-6y+9=0相切，则所有反射光线所在直线斜率之和为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 求出圆心与半径，点A关于x轴的对称点的坐标，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得结论．

解答 解：圆M：x²+y²-4x-6y+9=0的圆心坐标为（2，3），半径为2，
点A关于x轴的对称点的坐标为（-2，-1），设反射光线为y+1=k（x+2），即kx-y+2k-1=0
∵光线从点A（-2，1）射出，经过x轴反射后，与圆C：x²+y²-4x-6y+9=0相切，
∴d=$\frac{|2k-3+2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，可得3k²-8k+3=0
∴k₁+k₂=$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．