Question

【题目】如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不与O重合)．

(1) 求新增观光道FG、FH长度之和的最大值；

(2) 在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5百米为半径的圆形E的区域内．则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由．

Answer 1

【答案】 (1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是百米；(2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间 (单位：百米)内的任何一点处．

【解析】

（1）连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，则FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ，利用两角和与差的正弦公式化简，即可得到新增观光道FG、FH长度之和的最大值；

（2）以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．可得圆O的方程，圆E的方程，根据直线和圆的位置关系得到答案即可.

(1) 连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，

则∠FOC＝－θ (＜θ＜)，故FH＝5sinθ，FG＝5sin(－θ)，

则FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ

＝5(cosθ＋sinθ＋sinθ)＝5(sinθ＋cosθ)＝5sin(θ＋)，

因为＜θ＜，所以＜θ＋＜，

所以当θ＋＝，即θ＝时，(FG＋FH)max＝．

(2) 以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．

由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方．由OF＝5，圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2＋y2＝25，

圆E的方程为(x－15)2＋y2＝6.25，

设直线CD的方程为y＝kx＋t (－＜k＜0，t＞0)，

即kx－y＋t＝0，设点D(xD，0)

则

由①得t＝5，

代入②得，解得k2>．

又由－＜k＜0，得0＜k2＜3，故＜k2＜3，即＜＜3．

在y＝kx＋t中，令y＝0，解得xD＝＝＝，所以＜xD＜10．

答：(1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是百米；

(2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间 (单位：百米)内的任何一点处．