Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2；E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。

（1）求证：PB//平面EFG；

（2）求异面直线：EG与BD所成的角；

（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得A到平面EFQ的距离为，若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解法一：（1）证明：取AB中点H，连结GH，GE，

∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH//AD//EF

∴E，F，H，H四点共面，

又H为AB的中点

∴EH//PB。

又EH面EFG，PB平面EFG，

∴PB//面EFG。

（2）解：取BC的中点为M，连结GM、AM、EM，则EM//BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角

在Rt△MAE中，EM

同理EG=

∴在Rt△MAE中，

故异面直线EG与BD所成的角为

（3）

假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，

过点Q作QR⊥AB于R，连结RE，则OQ//AD

∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA，又ABOA=A，

∴AD⊥平面PAB

又∵E、F分别是PA、PD中点，

∴EF//AD，

∴EF⊥平面PAB又EF面EFQ，

∴面EFQ⊥平面PAB，

过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，

∴AT就是点A到平面EFQ的距离

设CQ

在Rt△EAR中，AT

解得

故存在点Q，当

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A―xyz

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）

P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）

（1）证明：∵

即

又∵

∴共面。

∵PB平面EFG，

∴PB//平面EFG，

（2）解∵

∴

故异面直线EG与BD所成的角为

（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件

令

则DQ=2-m

∴点Q的坐标为（2，－m,2,0）

∴

而，设平面EFQ的法向量为，则

∴

令x=1，则

∴点A到平面EFQ的距离

即

∴不合题意，舍去

故存在点Q，当CQ=时，点A到平面EFQ的距离为。