Question

（2012•浙江模拟）若

AB

=(x，y)，x，y∈{-2，-1，0，1，2}，

a

=(1，-1)，则

AB

与

a

的夹角为锐角的概率是

8

25

．

Answer 1

分析：向量

AB

与

a

的夹角为锐角的充要条件是：

AB

•

a

＞0，同时

AB

与

a

不平行．由此结合题中数据得到x＞y且x+y≠0，再计算出所有（x，y）的取法，和符合条件的（x，y）的取法，用随机事件的概率公式可算出所求的概率．

解答：解：设

AB

与

a

的夹角为θ，若

AB

与

a

的夹角为锐角，即θ∈（0，

π

2

），
∵

AB

•

a

=|

AB

|•|

a

|cosθ
∴θ∈（0，

π

2

）时cosθ＞0，得

AB

•

a

=|

AB

|•|

a

|cosθ＞0
∵

AB

=(x，y)，

a

=(1，-1)
∴

AB

•

a

=x-y＞0，同时

AB

与

a

不平行，得x+y≠0
由以上的讨论，得当x＞y且x+y≠0时，

AB

•

a

＞0，夹角θ为锐角
∵x，y∈{-2，-1，0，1，2}
∴x，y的所有取法有5×5=25种，
其中x＞y且x+y≠0的取法有：（2，-1），（2，0），（2，1），（1，-2），
（1，0），（0，-2），（0，-1），（-1，-2），共8种情况
∴

AB

与

a

的夹角为锐角的概率是P=

8

25

故答案为：

8

25

点评：本题以随机事件的概率的计算为载体，考查了向量数量积的计算公式和两向量夹锐角角的充要条件等知识，属于基础题．