Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2）．
（1）问：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求S_n和a_n；
（3）求证：S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），可得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可得出；
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，再利用递推式即可得出．
（3）利用${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2），即可证明．

解答 （1）解：∵a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），
∴S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，
化为$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差数列，首项为2，公差为2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
∴${S_n}=\frac{1}{2n}$；
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n}-\frac{1}{2（n-1）}$=$-\frac{1}{2n（n-1）}$．
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}（n=1）\\-\frac{1}{2n（n-1）}（n≥2）\end{array}\right.$．
（3）证明：∵${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2），
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²≤$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．