Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，cos∠ADB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AD∥BC，AD＜BD．
（1）证明：平面POC⊥平面PAD；
（2）求直线PD与平面PAB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理求出BD=$\sqrt{5}$，由勾股定理得AB⊥AD，从而CO⊥AD，进而得到CO⊥平面PAD，由此能证明平面POC⊥平面PAD．
（2）以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PD与平面PAB所成角的大小．

解答 （1）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，
△PAD是等边三角形，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，cos∠ADB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AD∥BC，AD＜BD．
∴$cos∠ADB=\frac{4+B{D}^{2}-1}{2×2×BD}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
整理，得$\sqrt{5}B{D}^{2}-8BD+3\sqrt{5}=0$，
解得BD=$\sqrt{5}$或BD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$（舍），
∴AB²+AD²=BD²，∴AB⊥AD，
∴CO⊥AD，
∵PO⊥平面ABCD，CO?平面ABCD，∴CO⊥PO，
∵AD∩PO=O，∴CO⊥平面PAD，
∵CO?平面POC，∴平面POC⊥平面PAD．
（2）解：以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{3}$），D（0，1，0），A（0，-1，0），B（1，-1，0），
$\overrightarrow{PA}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，-1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），
设直线PD与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-2\sqrt{3}}{2×2}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=60°．
∴直线PD与平面PAB所成角的大小为60°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．