Question

已知M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），且y=

OM

•

ON

（O为坐标原点）．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）在满足（2）的条件下，说明f（x）的图象可由y=sinx的图象如何变化而得到？

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积的运算和向量的坐标求得函数的解析式．
（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，根据x的范围确定2x+

π

6

的范围进而利用正弦函数的性质求得函数的最大值，求得a．
（3）根据（2）可知f（x）=sin（x+

π

6

）+2，然后利用三角函数图象平移的法则求得答案．

解答：解：（1）y=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a，
所以f(x)=cos2x+

3

sin2x+1+a
（2）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
因为0≤x≤

π

2

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
当2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

时f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，a=1
（3）①将y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位得到函数f(x)=sin(x+

π

6

)的图象；
②将函数f(x)=sin(x+

π

6

)的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

得到函数f(x)=sin(2x+

π

6

)的图象；
③将函数f(x)=sin(2x+

π

6

)的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)的图象；
④将函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)的图象向上平移2个单位，得到函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2的图象

点评：本题主要考查了三角函数的最值，平面向量的数量积的运算，三角函数图象的变换．考查了运用所学知识解决问题的能力．