Question

已知集合D={（x₁，x₂）|x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂=k}（其中k为正常数）．
（1）设u=x₁x₂，求u的取值范围；
（2）求证：当k≥1时不等式对任意（x₁，x₂）∈D恒成立；
（3）求使不等式对任意（x₁，x₂）∈D恒成立的k²的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；
（2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用u在上单调递增即可，或者作差法比较；
（3）结合（2）将（3）转化为求使对恒成立的k的范围，利用函数的单调性解决，或者作差法求解．
解答：解：（1），当且仅当时等号成立，
故u的取值范围为．
（2）解法一（函数法）=
由，又k≥1，k²-1≥0，
∴在上是增函数
所以
=
即当k≥1时不等式成立．
解法二（不等式证明的作差比较法）

=
=
=，
将k²-4x₁x₂=（x₁-x₂）²代入得：

=
∵（x₁-x₂）²≥0，k≥1时4-k²x₁x₂-4k²=4（1-k²）-k²x₁x₂＜0，
∴，
即当k≥1时不等式成立．
（3）解法一（函数法）
记=，
则，
即求使对恒成立的k的范围．
由（2）知，要使
对任意（x₁，x₂）∈D恒成立，必有0＜k＜1，
因此1-k²＞0，
∴函数在上递减，在上递增，
要使函数f（u）在上恒有，必有，即k⁴+16k²-16≤0，
解得．
解法二（不等式证明的作差比较法）
由（2）可知=，
要不等式恒成立，必须4-k²x₁x₂-4k²≥0恒成立
即恒成立
由得，即k⁴+16k²-16≤0，
解得．
因此不等式恒成立的k²的范围是
点评：本题考查不等式的综合应用，以及利用转化思想、函数思想转化为函数问题利用函数的单调性解决不等式问题，属于中档题．