【题目】已知数列的前项和为,等差数列满足.
(1)分别求数列的通项公式;
(2)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)由----①得----②,
①②得,
又a2=3,a1=1也满足上式,∴an=3n-1;----------------3分
; -----------------6分
(2),
对恒成立,即对恒成立,-----8分
令,,
当时,,当时,,--------------10分
,.----------12分
【解析】
试题(1)根据条件等差数列满足,,将其转化为等差数列基本量的求解,从而可以得到的通项公式,根据可将条件中的变形得到,验证此递推公式当n=1时也成立,可得到是等比数列,从而得到的通项公式;
(2)根据(1)中所求得的通项公式,题中的不等式可转化为,从而问题等价于求,可求得当n=3时,为最大项,从而可以得到.
(1)设等差数列公差为,则,
解得,, (2分)
当时,,则,
是以1为首项3为公比的等比数列,则. (6分);
(2)由(1)知,,原不等式可化为(8分)
若对任意的恒成立,,问题转化为求数列的最大项
令,则,解得,所以, (10分)
即的最大项为第项,,所以实数的取值范围. (12分).
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【题目】前不久商丘市因环境污染严重被环保部约谈后,商丘市近期加大环境治理力度,如表提供了商丘某企业节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;
(2)已知该企业技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤?
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)参考公式:=,.
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【题目】已知点F(1,0),点A是直线l1:x=﹣1上的动点,过A作直线l2 , l1⊥l2 , 线段AF的垂直平分线与l2交于点P. (Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若点M,N是直线l1上两个不同的点,且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1,直线PF的斜率为k,求 的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=axex , 其中常数a≠0,e为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)若直线y=e(x﹣ )是曲线y=f(x)的切线,求实数a的值.
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【题目】国内某知名大学有男生14000人,女生10000人,该校体育学院想了解本校学生的运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天运动的时间,如下表:(平均每天运动的时间单位:小时,该校学生平均每天运动的时间范围是).
男生平均每天运动时间分布情况:
女生平均每天运动时间分布情况:
(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1);
(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”,低于2小时的学生为“非运动达人”.
①请根据样本估算该校“运动达人”的数量;
②请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关?”
参考公式:,其中.
参考数据:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】设点M(x1 , f(x1))和点N(x2 , g(x2))分别是函数f(x)=ex﹣ x2和g(x)=x﹣1图象上的点,且x1≥0,x2>0,若直线MN∥x轴,则M,N两点间的距离的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的分别为a,b,c,且acosB=(3c﹣b)cosA.
(1)若asinB=2 ,求b;
(2)若a=2 ,且△ABC的面积为 ,求△ABC的周长.
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