已知集合是正整数
的一个排列
,函数
对于
,定义:
,
,称
为
的满意指数.排列
为排列
的生成列;排列
为排列
的母列.
(Ⅰ)当时,写出排列
的生成列及排列
的母列;
(Ⅱ)证明:若和
为
中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(Ⅲ)对于中的排列
,定义变换
:将排列
从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换
将排列
变换为各项满意指数均为非负数的排列.
(I),
;(II)详见解析;(III)详见解析.
解析试题分析:(I)弄懂已知条件中生成列、母列定义即可求解;(II)弄懂“对于,定义:
,
,称
为
的满意指数.”是解题的关键;(III)把握第(I)问,由特殊到一般,才能顺利求(III).
试题解析:(Ⅰ)解:当时,排列
的生成列为
; 2分
排列的母列为
. 3分
(Ⅱ)证明:设的生成列是
;
的生成列是与
.
从右往左数,设排列与
第一个不同的项为
与
,即:
,
,
,
,
.
显然 ,
,
,
,下面证明:
. 5分
由满意指数的定义知,的满意指数为排列
中前
项中比
小的项的个数减去比
大的项的个数.
由于排列的前
项各不相同,设这
项中有
项比
小,则有
项比
大,从而
.
同理,设排列中有
项比
小,则有
项比
大,从而
.
因为 与
是
个不同数的两个不同排列,且
,
所以 , 从而
.
所以排列和
的生成列也不同. 8分
(Ⅲ)证明:设排列的生成列为
,且
为
中从左至右第一个满意指数为负数的项,所以
. 9分
进行一次变换后,排列
变换为
,设该排列的生成列为
. 所以
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设项数均为(
)的数列
、
、
前
项的和分别为
、
、
.已知
,且集合
=
.
(1)已知,求数列
的通项公式;
(2)若,求
和
的值,并写出两对符合题意的数列
、
;
(3)对于固定的,求证:符合条件的数列对(
,
)有偶数对.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)已知一个数列的各项都是1或2.首项为1,且在第
个1和第
个1之间有
个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前
项的和为
.参考:31×32=992,32×33=1056,44×45=1980,45×46=2070
(I)试问第10个1为该数列的第几项?
(II)求和
;
(III)是否存在正整数,使得
?如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)下列关于星星的图案构成一个数列,
对应图中星星的个数.
(1)写出的值及数列
的通项公式;
(2)求出数列的前n项和
;
(3)若,对于(2)中的
,有
,求数列
的前n项和
;
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