Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，求证：
（1）PC⊥BD；
（2）面PBD⊥面PAC．

Answer 1

分析：（1）欲证明PC⊥BD，只需证明BD垂直于PC所在的平面，根据已知以及线面垂直的性质，正方形的性质，就可证明BD垂直于PC所在的平面PAC，进而证明PC垂直于BD．
（2）与证明平面PBD⊥平面PAC，只需证明，平面PBD经过平面PAC的一条垂线，由（1）可知BD垂直于平面PAC，且BD包含于平面PBD，就可证明平面PBD⊥平面PAC．

解答：解：（1）连接AC，BD．
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD
∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD．
（2）由（1）可知，BD⊥平面PAC，又∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC．

点评：本题主要考查了空间线面垂直，面面垂直的证明，考查了学生的空间想象能力，推理能力．