Question

设函数.
（Ⅰ）证明：当，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；(Ⅱ) .

试题分析：（Ⅰ）当时，求导数，令，，求函数的单调区间与极值，再求最大值，从而判断，当时，成立；(Ⅱ)由，注意到．再求，对实数分三种情况讨论，①，②，③，分别求出当时，分别通过函数单调性，判断函数的单调性，从而求得的的取值范围，再求并集.
试题解析：（Ⅰ）当时，，则
令，得，当时，，所以在为增函数；
当时，，所以在为减函数．
所以，．
即当时，成立．                   4分
（Ⅱ）由，注意到．
设，则.
（ⅰ）当，时，，因此在为减函数，
即在为减函数，
所以在为减函数，与已知矛盾.
（ⅱ）当时，当时，
则在为减函数，此时得为减函数，
与已知矛盾.
（ⅲ）当时，当时，为增函数. 
，所以在为增函数，
不等式成立.
综上所述 ，的取值范围是