Question

已知a＞0，函数f(x)=

sin π 2 x，x∈[-1，0) ax2+ax+1，x∈[0，+∞)

，若f(t-

1

3

)＞-

1

2

，则实数t的取值范围为（　　）

• A．[-

  2

  3

  ，0)
• B．[-1，0）
• C．[2，3）
• D．（0，+∞）

Answer 1

分析：分类讨论：当-1≤t-

1

3

＜0时，利用正弦函数的单调性即可得出；当t-

1

3

≥0时，a＞0时，f(t-

1

3

)＞-

1

2

恒成立．

解答：解：①当-1≤t-

1

3

＜0时，f(t-

1

3

)=sin[

π

2

(t-

1

3

)]＞-

1

2

，∴-

π

6

+2kπ＜

π

2

(t-

1

3

)＜

7π

6

+2kπ（k∈Z），-

1

3

+4k＜t-

1

3

＜

7

3

+4k（k∈Z）．
又∵-1≤t-

1

3

＜0，∴-

1

3

＜t-

1

3

＜0，解得0＜t＜

1

3

．
②当t-

1

3

≥0时，f(t-

1

3

)=a(t-

1

3

)2+a(t-

1

3

)+1＞-

1

2

，及a＞0，恒成立，
∴t≥

1

3

．
综上可知：实数t的取值范围为（0，+∞）．
故选D．

点评：本题考查了分段函数的性质、正弦函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于中档题．