Question

【题目】对于数列， ， ， ，若满足，则称数列为“数列”．

若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，

例如数列因为， ， ， 与， ， ， 按次序对应相等，所以数列是“阶可重复数列”．

（I）分别判断下列数列， ， ， ， ， ， ， ， ， ．是否是“阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这项；

（II）若项数为的数列一定是 “阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；

（III）假设数列不是“阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项或，均可 使新数列是“阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值．

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ） 的最小值是；（III）.

【解析】试题分析：（I）根据条件及给出的新定义判断；（II）结合所给出的新定义，分类讨论可得结果；（III）用反证法进行推理，可得而。

试题解析：

（I）

（Ⅱ）因为数列的每一项只可以是或，所以连续项共有种不同的情形．

若，则数列中有组连续项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为的数列一定是“阶可重复数列”；

若，数列， ， ， ， ， ， ， ， ， 不是“阶可重复数列”；则时，均存在不是“阶可重复数列”的数列．

所以要使数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值是．

（III）由于数列在其最后一项后再添加一项或，均可使新数列是“阶可重复数列”，即在数列的末项后再添加一项或，

则存在，使得， ， ， ， 与， ， ， ， 按次序对应相等，或， ， ， ， 与， ， ， ， 按次序对应相等，如果， ， ， 与， ， ， 不能按次序对应相等，

那么必有， ， ，使得， ， ， 、， ， ， 与， ， ， 按次序对应相等．

此时考虑， 和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列是“阶可重复数列”，这和题设中数列不是“阶可重复数列”矛盾！

所以， ， ， 与， ， ， 按次序对应相等，从而．