Question

请考生从以下三个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．（坐标系与参数方程）直线

x=4t y=3t-2

（t为参数）被曲线

x=5+2cosθ y=3+2sinθ

（θ为参数）所截得的弦长为

2

3

；
B．（不等式选讲）若存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，则实数m的取值范围为

-2＜m＜8

；
C．（几何证明选讲）若一直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别是π与9π，则三角形的面积为

7

．

Answer 1

分析：A 把参数方程、极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式及弦长公式求得弦长．
B 有绝对值的意义知，|x-3|+|x-m|的最小值为|m-3|，故|m-3|＜5，去掉绝对值求得m范围．
C 如图：由题意得，三角形的内切圆半径等于1，外接圆的半径等于3，设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
点C（1，1）为△AOB的内心，由点C到AB的距离等于1，及

a2+ b2

=6，解方程求得 ab，即可求得
三角形的面积 

1

2

ab 的值．

解答：解：A  用代入法消去参数，化为普通的直线方程为 3x-4y-8=0，利用同角三角函数的基本关系
消去参数θ得到曲线的普通方程为 （x-5）²+（y-3）²=4，表示圆心在（5，3），半径等于2的圆．
圆心到直线的距离等于

|15-12-8|

5

=1，故弦长为 2

4-1

=2

3

．
B  由于|x-3|+|x-m|表示数轴上的x 到3和m的距离之和，故其最小值为|m-3|，
∵存在实数x满足|x-3|+|x-m|＜5，∴|m-3|＜5，-5＜m-3＜5，-2＜m＜8．
C 由题意得，三角形的内切圆半径等于1，外接圆的半径等于3，直角三角形的斜边中点到三个顶点的距离相等，
故直角三角形的斜边长等于6，如图：设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
 Rt△AOB中，点C（1，1）为△AOB的内心，AB的中点D是△AOB的外心．
，

a2+ b2

=6=AB，AB的方程为

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0．
由题意知，点C到AB的距离等于1，∴

|b+a-ab|

a2+b2

=1，∴|b+a-ab|=6，
b+a-ab=6 ①，b+a-ab=-6   ②．
把①移向平方得 a²+b²+2ab=（ab）²+12ab+36，∴ab=0（舍去），或 ab=-10（舍去），
把②移向平方得 a²+b²+2ab=（ab）²-12ab+36，∴ab=0（舍去）  或 ab=14，
故三角形的面积为

1

2

ab=7．
故答案为   A   2

3

；  B-2＜m＜8；    C  7．
，

点评：本题考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程的方法，绝对值不等式的解法，点到直线的距离公式的
应用．