Question

已知数列{f（n）}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求数列{f（n）}通项公式；
（Ⅱ）若a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N），求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用n≥2时，f（n）=S_n-S_n-1=2n+1．求解数列的通项公式．
（Ⅱ）判断数列{a_n+1}是首项为4，公比为2的等比数列．求出a_n=2ⁿ⁺¹-1，（n∈N^*）．然后利用等比数列求和即可．

解答：解：（Ⅰ）n≥2时，f（n）=S_n-S_n-1=2n+1．n=1时，f（1）=S₁=3，适合上式，
∴f（n）=S_n-S_n-1=2n+1．（n∈N^*）．
（Ⅱ）a₁=f（1）=3，a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*）．即a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴数列{a_n+1}是首项为4，公比为2的等比数列．a_n+1=（a₁+1）•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹．
a_n=2ⁿ⁺¹-1，（n∈N^*）．
T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n=2ⁿ⁺²-4-n．

点评：本题考查数列求和与数列的通项公式的求解，考查计算能力，数列的函数特征．