分析 设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0).直线方程与椭圆方程联立化为(m+n)x2-2nx+n-1=0,△>0,利用中点坐标公式及其根与系数的关系可得:n=2m.由于以MN为直径的圆经过坐标原点,可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1•y2=0,再利用根与系数的关系可得m+n=2,联立解出即可得出.
解答 解:设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0).则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}={x}_{0}$,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}={y}_{0}$,$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{1}{2}$.
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1-x}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,化为(m+n)x2-2nx+n-1=0,
△=4n2-4(m+n)(n-1)>0,解得m+n-mn>0.
∴x1+x2=$\frac{2n}{m+n}$,x1x2=$\frac{n-1}{m+n}$.
∴x0=$\frac{n}{m+n}$,y0=1-x0=$\frac{m}{m+n}$,
∴$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$,即n=2m.
∵以MN为直径的圆经过坐标原点,
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1•y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1=0,
∴$\frac{2(n-1)}{m+n}-\frac{2n}{m+n}$+1=0,
化为m+n=2,
联立$\left\{\begin{array}{l}{n=2m}\\{m+n=2}\end{array}\right.$,解得m=$\frac{2}{3}$,n=$\frac{4}{3}$.满足△>0.
∴椭圆的标准方程为:$\frac{2{x}^{2}}{3}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1.
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
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