Question

【题目】已知曲线.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）过点作曲线的切线，若所有切线的斜率之和为1，求的值.

Answer 1

【答案】(I) ；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率根据点斜式可得切线的方程；（2）设出曲线过点切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，解方程方即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可的结果.

试题解析：（Ⅰ）当a＝1时， ，∴f'（x）＝x2－1，

∴k切＝f'（2）＝4－1＝3．

∵，

所以切线方程为，整理得9x－3y－10＝0．

（Ⅱ）设曲线的切点为（x0，y0），则，

所以切线方程为．

又因为切点（x0，y0）既在曲线f（x）上，又在切线上，所以联立得

可得x0＝0或x0＝3，

所以两切线的斜率之和为－a＋（9－a）＝9－2a＝1，∴a＝4．

【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求曲线切线，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.